El concepto de grupo es actualmente considerado entre los matemáticos como el más básico y fundamental de todos. Y con toda razón. Para ellos, ninguna otra noción es tan general y profunda como ésta. Históricamente debemos al 100% esta idea a Évariste Galois, que murió en 1832 a los veinte años en un duelo, y sin haber conseguido estudiar en la prestigiosa École polytchnique, tras ser suspendido en dos exámenes de ingreso. Antes había sido precedido por Henrik Abel, que se había acercado a la noción de grupo, digamos en un 90%.
Curiosamente muchos matemáticos consideran como protagonista del concepto grupo a un objeto sólido y macizo. Por ejemplo, si se trata del grupo con tres elementos, se refieren a un triángulo equilátero sólido, ya sea de madera, metal o plástico, y cuyas tres esquinas a, b, c se combinan en las 6 o 3! permutaciones posibles.
Para las traslaciones o simetrías bilaterales suponen 3 ejes de simetría en ese triángulo equilátero macizo, Uno de ellos pasaría por el vértice a y el punto medio entre b y c, Aparte están las 3 rotaciones sobre el centro del triángulo, que completan las 6 permutaciones.
Pero el sentido común, y no digamos la lógica, piden que la noción de individuo preceda al concepto de grupo. No se trata de un objeto triangular, cuyos vértices estén conectados por algo material. Se trata exactamente de la forma abstracta de triángulo equilátero, que tienen tres estrellas en el cielo, por ejemplo. Forman un plano y entre ellas está el vacío. El verdadero protagonista del grupo S3 son las tres estrellas, y no un triángulo sólido y macizo con sus tres vértices. En concreto, el eje de simetría entre b y c no afecta al punto a. El hecho de que pase en efecto por a es accidental, al menos a efectos de precisar la función de un eje de simetría a mitad de camino entre b y c.
En la práctica, da igual que en el grupo S3 se supongan los ejes de simetría en un triángulo macizo o en el vacío del espacio sideral. Estamos hablando siempre de los mismos ejes de simetría. Pero en cuanto pasamos al grupo siguiente S4, la diferencia de que hablamos tiene obvias consecuencias.
En una reciente y muy acertada exposición del concepto de grupo, disponible en Internet, se presenta la imagen de un cuadrado sólido y tangible, compuesto por cuatro barras rígidamente unidas. Aunque se resaltan sus cuatro vértices, se da la impresión de que el protagonista del grupo es ese cuadrado material visto como un todo, en vez de sus cuatro vértices como individuos separados y con la añadida o externa forma de un cuadrado.
Y como operaciones del grupo se citan 4 rotaciones a la derecha y 4 ejes de simetría (vertical, horizontal y dos diagonales). Sin embargo, con ello no es posible reconstruir las 24 o 4! permutaciones requeridas. Hacen falta además 4 ejes de simetría en el punto medio de cada lado del cuadrado.
Que la suma de rotaciones y traslaciones sea igual al total de las permutaciones es esencial a la noción de grupo. Las permutaciones no son un ejemplo más de algo que tiene estructura de grupo. Pertenecen a la esencia misma de la noción de grupo. Cada grupo se realiza en el mismo molde como grupo de permutaciones (Mario Livio, “La ecuación jamás resuelta”, Ariel 2007, pág. 184). Se trata del llamado Teorema de Cayley.
Históricamente la noción de grupo nació ligada a las permutaciones surgidas de los intentos para encontrar una fórmula para las ecuaciones de quinto grado. Algunos autores han intentado definir el grupo mediante axiomas, dejando las permutaciones de lado. Pero la noción de orden, con las alteraciones de tal orden, es anterior a la de grupo. Son las permutaciones de que hablamos. Por eso es tan importante que la suma de rotaciones y traslaciones sea igual al total de las permutaciones.
Volvamos a la tesis de que la idea de individuo precede a la de grupo. El conjunto vacío del que hablan algunos matemáticos es un absurdo en lógica. Pero junto con la noción de individuo aparecen las de existencia sucesiva y el orden en los sucesos del tiempo. Sólo el presente está a nuestro alcance efectivo. Y el presente se nos hace tal a medida que el tiempo avanza. No sólo se trata de la precedencia lógica de la noción de individuo respecto a la de grupo. Ocurre además que junto con el individuo aparecen las nociones de tiempo y de orden en la existencia sucesiva de ese individuo.
Supongamos que el mundo se redujese a un único ente individual, que sólo vive el instante presente. Existen el tiempo y el orden invariable en cadena, pero aún no ha entrado en escena el espacio o repetición de individuos.
Para la idea de tiempo basta la existencia sucesiva de un solo y único individuo. El orden de los instantes sucesivos de su vida es fijo e inalterable. Pero la noción de espacio viene a continuación y se amplía el escenario. Se trata de la existencia simultánea de al menos dos individuos. Y este nuevo orden espacial ya no es teórico. Podemos cambiar de hecho ese orden. Tenemos las permutaciones ab o ba, si a y b son los nombres propios que denotan esos dos entes individuales. Aparece la simetría bilateral, cuyo ejemplo más a la mano es la reflexión especular o paridad. El eje de simetría pasa entre las dos letras a y b. O si se prefiere, hacemos un giro de 180º.
Y si pasamos a tres dimensiones, tenemos bien cerca nuestra mano derecha y nuestra mano izquierda, cada una imagen especular de la otra.
Lo que ya es menos conocido es que el espacio tridimensional contiene dentro de sí la paridad o reflexión especular. Una traslación es una línea recta finita, y cualquiera de sus extremos es imagen especular del otro. El eje de simetría se sitúa en el punto medio de esa recta teórica, que representa una traslación en el espacio (Cfr. mi artículo “Patrañas de Cantor y Gödel”, El Imparcial 22/05/2020).
Hace falta construir una maqueta de acuerdo con las fotografías que figuran en ese artículo. Si se tiene la paciencia de hacerlo, se aprecia enseguida que la recta que une un punto con número impar cualquiera, digamos 23, con el punto con el número par inmediatamente siguiente 24, pasa por el 0 o centro del cubo. Y la distancia de 0 a 23 es la misma que la que separa a 0 de 24. El punto 23 es el inverso del 24 en el grupo, y viceversa. Y hay un 0 o elemento neutro. Por tanto, el espacio tridimensional tiene dentro de sí la estructura de grupo, la simetría bilateral que asociamos a la reflexión en un espejo.
Como puros conceptos, espacio y tiempo han estado separados en nuestras mentes hasta que la teoría de la relatividad y la física cuántica nos han convencido de lo contrario. En la historia de la matemática los números reales han sido vistos durante siglos como los auténticos y genuinos números. Hemos calificado de imaginario el complemento aceptado a regañadientes para llegar a los números complejos. Y aún tenemos pendiente la tarea de asimilar del todo que los números verdaderamente reales son los complejos, porque juntan las traslaciones en el espacio con las rotaciones que miden el tiempo. Los números que seguimos llamando reales sólo tienen como referencia un espacio ficticiamente separado del tiempo.
Decíamos al principio que no hay noción más amplia o general para los matemáticos que la de grupo. Se comprende que sea así, pues en el fondo se trata del marco conceptual espacio-tiempo en que encuadramos todo lo que podemos observar con nuestros sentidos. Las leyes físicas cumplen la paridad, porque la paridad está en la entraña misma del espacio tridimensional en que tienen lugar los fenómenos físicos. Y por otra parte, aunque el tiempo sea de suyo inalterable en su orden en cadena, lo medimos asociándolo al espacio. Una aguja que gira repetidamente en sentido horario es lo que siempre hemos llamado reloj. Con sus giros y las traslaciones anteriores reconstruimos el grupo de las permutaciones. El espacio tiempo tiene estructura de grupo. No es sorprendente que tantas cosas que tienen lugar dentro del marco espacio-tiempo se nos hagan inteligibles mediante el concepto matemático de grupo o gracias a simetrías más complejas.
Se supone que en el Big Bang tiempo y espacio surgieron juntos. Sin embargo desde una perspectiva conceptual o teórica el tiempo precede al espacio, y las ideas de individuo y orden son anteriores a la de grupo.
Primero está la noción de individuo aislado, con su existencia sucesiva y el orden en cadena de los instantes de su tiempo, que no podemos alterar. Y luego viene la noción de espacio, como individuos repetidos o existencia simultánea de varios entes individuales. Este nuevo orden espacial podemos alterarlo de hecho. Por ejemplo, con bolitas que manejamos cómodamente con nuestras manos.
Terminemos con una observación que nos traslada al origen mismo del lenguaje y del pensamiento.
La noción de individuo hay que situarla en el ámbito de las cosas o los hechos, que denominamos Reino del ESSE. Se corresponde, en el Reino del LOGOS o del pensamiento, con lo que está en el inicio mismo de la lógica, la oración gramatical sujeto-predicado, que los ingleses llaman sentence y nosotros enunciado. Así pues, el individuo lógico está en correspondencia biunívoca con el individuo óntico.
Esta biyección es tan básica o fundamental como la triple correspondencia válido-necesario, consistente-posible y contradictorio-imposible. O más exactamente, esta triple correspondencia da por supuesto que estamos hablando siempre sobre individuos, tanto en el ámbito del ESSE como en el ámbito del LOGOS. La noción de individuo vuelve a ser anterior a la de grupo, detalle que a veces olvidan los matemáticos.