Todos hemos sido enseñados a ver 2π como la relación entre el perímetro de la circunferencia y su radio. O en términos más generales, entre lo curvo y lo recto. Eso coincide con la historia. Se atribuye a Pitágoras el razonamiento de concebir la circunferencia como el límite -inalcanzable de hecho- de un polígono de infinito número de lados.
Pero π tiene un significado mucho más trascendente y profundo que la distinción entre lo recto y lo curvo en el espacio. Mucho más básica es la relación entre tiempo y espacio. Nuestro cosmos tiene tres dimensiones longitudinales para el espacio y una rotacional para el tiempo. Medimos el tiempo por algún movimiento que se repite de modo uniforme. Eso es lo que entendemos por la palabra reloj. Un reloj vincula un movimiento iterado y sucesivo en el tiempo con una longitud fija en el espacio, que asegure indirectamente que las vibraciones duran lo mismo.
Consideremos un reloj bien sencillo. Una circunferencia gira con velocidad uniforme mientras avanza en línea recta. Un punto de ella describe la curva conocida como cicloide. Tras un giro de 360º ese punto ha avanzado 2πr, siendo r es el radio de la circunferencia. Si el radio es 1, volvemos al 2π antes mencionado.
Esta sería la cicloide matemática. Podemos tomarla como el reloj básico de nuestro cosmos en la teoría, es decir, sin rozamientos. La unidad de tiempo sería 2π radianes.
Huygens estudió esta curva buscando un péndulo mejor que los ordinarios. Poco después Johann Bernoulli propuso su célebre problema: ¿cuál es la curva que describe una cuerda colgada de dos clavos en la pared, que no estén en vertical ni a la misma altura? Varios genios de la época, entre ellos Newton y Leibniz, contestaron correctamente: la cicloide.
La cicloide tiene dos curiosas propiedades, cuya significación física siempre ha sido intrigante.
Huygens la calificó de tautócrona. En la trayectoria de la cicloide se tarda el mismo tiempo en llegar a la meta, cualquiera que sea el punto de salida. No se tarda menos, porque el espacio a recorrer en esa trayectoria sea menor Ni se tarda más tiempo, porque sea mayor.
Bernoulli la llamó braquistocrona. De todas las trayectorias posibles entre dos puntos en el espacio, la cicloide es el camino más rápido en tiempo. Se tarda incluso menos que yendo en línea recta, aunque ésta sea el camino más corto en el espacio.
Los esquiadores, en sus espectaculares saltos en caída libre, también describen en el aire una cicloide. Y no sienten la gravedad como su peso. En cambio, si desde la salida del trampolín hasta la meta hubiese una pendiente sólida y en línea recta, el esquiador tardaría en recorrerla más tiempo que en caída libre, debido al rozamiento contra la nieve.
La cicloide es un límite absoluto de nuestro cosmos, lo mismo que la velocidad
de la luz. Esta es también braquistócrona, en el sentido de que no puede ser superada. Y es también tautócrona, pues no aumenta porque el foco encendido se acerque a nosotros, ni disminuye porque se aleje. Ambos adjetivos griegos indican lo que podemos esperar, cuando topamos con un límite, extremo o final de nuestro cosmos.
Un agujero negro sería el límite opuesto a la velocidad uniforme de la luz, si lo que consideramos es la proporción energía-materia, radiación-masa u onda corpúsculo, pues se usan estas tres expresiones compuestas, que denotan lo mismo.
La longitud mínima (hodón) y el tiempo mínimo (cronón), que calculó Planck, son también límites o estados finales de nuestro universo.
Consideremos ahora la cicloide física, o con rozamientos, en relación con la gravedad. ¿Qué es exactamente la gravedad?
Newton fue muy cauto cuando le preguntaron cómo la gravedad en cuanto fuerza puede actuar a distancia y sin contacto físico. Contestó: hypotheses non fingo. No miento al decir que postulo una hipótesis. Sólo afirmo que salen las cuentas, en el caso de que que existiera tal fuerza. No entro en si la gravedad existe o no de hecho como una fuerza atractiva.
Einstein no fue tan cauto y propuso un nuevo y atrevido concepto de gravedad como curvatura del espacio-tiempo. Pero el tiempo no puede curvarse. Sólo el espacio se curva y adquiere por ello una cuarta dimensión longitudinal. La curvatura propuesta por Einstein como explicación de la gravedad tropieza con la insalvable dificultad de que en cuatro dimensiones longitudinales no hay paridad o reflexión especular (Cfr. mi artículo “Patrañas de Cantor y Gödel”, El Imparcial 22/05/2020).
La cicloide matemática o sin rozamientos es la que corresponde a la caída libre en estado puro o sin rozamientos. La velocidad angular en la cicloide matemática es considerada máxima, pues el aprovechamiento de la energía es total, Se trata del principio de acción mínima invocado por Fermat. Hamilton, Lagrange y muchos otros. Utilizaremos la palabra rozamiento del modo más general, o sea, cualquier freno, obstáculo o dificultad a la caída libre o al principio de Fermat.
En cambio, la cicloide física tropieza con el rozamiento, ciertamente general, de la gravedad. Volvamos al ejemplo ya dado. Al contrario del que salta desde el trampolín, el esquiador que se desliza sobre la nieve siente en su cuerpo un rozamiento proporcional a su peso, y él piensa que está causado por la fuerza de la gravedad, de la que tanto le han hablado desde niño.
Pero la gravedad puede ser vista de modo diverso. No como una extraña fuerza que atrae en todas las regiones del universo y no repele en ninguna, sino como la tendencia de la naturaleza a ahorrar energía y reducir al mínimo los rozamientos. O sea, el principio de mínima acción antes citado. Kant hablaba de parsimonia de la naturaleza. La cicloide física invita a concebir la gravedad como la tendencia o presión que ejerce la naturaleza para acercarse al ideal de la caída libre, en que desaparecen los rozamientos y la energía se aprovecha al 100 %.
Tomemos ahora la cicloide física como el reloj de nuestro mundo. No en teoría, como la cicloide matemática, sino de modo efectivo, o sea, cuando hay rozamientos. En un giro completo de su rueda generatriz, la cicloide física siempre avanzará en la línea recta un espacio inferior a 2π. Pues la teórica circunferencia se ha convertido en una rueda de madera, metal o plástico. Y lo mismo la superficie en
la que avanza en línea recta. Por tanto, la rueda generatriz gira más despacio que en el supuesto teórico de la cicloide matemática. Ahora hay un rozamiento proporcional a las masas presentes. Ese rozamiento general provoca un atraso de los relojes, lo que convierte a la gravedad en un fenómeno omnipresente o universal. No está localizado en puntos específicos, como las otras fuerzas.
Los físicos calculan la constante gravitatoria G en 6,67259*10-11 m3kg-1s-2. Esa constante expresaría la unidad de rozamiento general causada por la gravedad al giro de la rueda que genera la cicloide física. O si se prefiere, es el atraso que la gravedad ocasiona en el reloj-cicloide-física respecto al reloj-cicloide-matemática.
Aparte están los campos gravitatorios concretos y localizados en ámbitos específicos de nuestro cosmos. Como también otros tipos de rozamiento distintos de la gravedad, que puedan interferir en una situación concreta.
Einstein fue genial en Relatividad especial, o con movimiento uniforme, al decir que la velocidad atrasa los relojes. Pero estuvo menos brillante en Relatividad general, o con aceleración, al afirmar que un campo gravitatorio atrasa los relojes. Se quedó corto. Mas bien, lo correcto hubiera sido decir que gravedad y atraso de los relojes son lo mismo.
En mi artículo “Gravedad y Parsimonia” (El Imparcial 24/11/2021) ya avanzaba la idea de que la gravedad y el principio de mínima acción son en último análisis el mismo concepto.
Sin embargo, se me escapó un matiz. De acuerdo en que la gravedad coincide en el fondo con el principio de Fermat. Pero no son exactamente lo mismo. Más bien hay que generalizar la distinción entre la idealidad matemática y la realidad física, señalada antes para la cicloide.
La gravedad es de suyo una noción negativa. Impide o dificulta que se cumpla el ideal teórico y positivo del aprovechamiento total de la energía en un mundo sin rozamientos. La gravedad sería el rozamiento principal o fundamental provocado por la entrada en escena del concepto de masa, o materia física más o menos densa y distribuida en el espacio sin orden aparente. De un modo u otro está presente en todas las regiones del universo, y su unidad se expresa por la constante G. Así pues, digamos que el principio de acción mínima corresponde de suyo al 100 %, y la gravedad es el descuento que ese rozamiento básico impone a dicho 100 %.
La diferencia entre G y 2π es muy pequeña: 0,38941.... ¿Es una mera coincidencia o tiene algo que ver con todo lo anterior? ¿Sería posible que 0,38941... radianes fuese precisamente el atraso del reloj-cicloide-física respecto al reloj-cicloide-matemática?