En el siglo V a. C. Zenón de Elea enunció su célebre paradoja según la cual Aquiles, el “de los pies ligeros” como le llama Homero, nunca alcanzaría a la tortuga. Cuando Aquiles llega donde estaba la tortuga, ésta habrá avanzado algo. Y así una y otra vez.
Obviamente hay una trampa en este sofisma. Pero ¿cuál es? ¿Dónde está el engaño? No es tan fácil averiguarlo. Leo lo que dice el Diccionario de Filosofía de Ferrater Mora (Ed. Ariel 1994) y no aclara cuál es la trampa. No debe sorprenderse el lector, si no acierta con élla tan rápido como podría suponerse.
La sutil trampa está en callar que hay una unidad de longitud común a los movimientos de Aquiles y la tortuga. Si se omite esa unidad común, los dos movimientos son vistos como independientes, y entonces cabe afirmar el absurdo de Zenón. En realidad, si se prescinde de la unidad común para medir longitudes, se puede decir cualquier cosa. En cambio, basta introducir la unidad común de longitud para que quede claro el sofisma. En el mismo lapso de tiempo, Aquiles recorrerá siempre más unidades de longitud que la tortuga, y por tanto la alcanzará.
Pero más importante que descubrir la trampa de esta célebre paradoja es apreciar el enorme alcance de la cuestión teórica que aquí se pone sobre el tapete. Ocultar, omitir o silenciar la unidad para medir la longitud equivale en la práctica a afirmar que el espacio está infinitamente dividido de hecho. En adelante emplearé la palabra continuum para designar el infinito actual hacia lo más pequeño.
Estrictamente el silencio sobre la unidad de longitud no es lo mismo que la afirmación positiva del continuum. Pero es un silencio muy capcioso y propicio al error. Abre las puertas al sofisma explícito. Zenón únicamente ocultó la mención de la unidad de longitud. Pero pronto encontraremos un ejemplo paladino y taxativo del absurdo del continuum.
Todo espacio está compuesto de unidades mínimas de longitud, indivisibles y contiguas, para las que usaremos la palabra hodón. Pero no se trata sólo del espacio físico. Espacio en general es la existencia simultánea de varios entes finitos en cuanto individuos repetidos. Continuum implica negar la existencia de los individuos que integran el espacio en cuestión, y además se pueden contar.
En la Conferencia General de Pesas y Medidas de 1889 en París la mayoría de los países adoptaron el Sistema Métrico Decimal. La unidad de longitud considerada mínima fue el milímetro. Lo seguimos usando para las actividades ordinarias de la vida. En cualquier papelería podemos comprar en nuestros días una regla de medir longitudes, y su escala está en milímetros. Sólo en Física cuántica y en Biología molecular ha surgido la necesidad de recurrir a hodones más pequeños.
Partiendo de las constantes fundamentales de la Física, Max Planck calculó el hodón final de nuestro cosmos, y lo estimó en l0 elevado a menos 32 milímetros. Así pues, en el universo físico no existe el continuum. Ni tampoco hablando en general.
Lo que existe de hecho son espacios más o menos convencionales, pero siempre divididos en individuos contables, o unidades mínimas con las que estimamos cuantitativamente la magnitud en cuestión.
Volviendo al espacio físico, continuum y hodón son dos conceptos que se excluyen entre sí. Esta es la enseñanza capital que se deduce de la paradoja de Zenón. Si se admite el continuum, no hay lugar para la unidad de longitud. Y si hay unidad de longitud, el continuum es sólo una idea extravagante y absurda.
Por eso sorprende tanto que en la noción de límite de una función, que encontramos en cualquier libro de matemáticas, se incurra explícitamente en el error del continuum. Para empezar, esos textos nunca mencionan unidad mínima de espacio alguna. Ya esta omisión es un artero engaño. Pero hay más y mucho más. Topamos con la afirmación paladina y positiva del continuum. Este es el ejemplo antes anunciado.
En efecto, la definición usual de límite de una función reza así: para todo ε... existe una distancia menor que ε. Y por “ε” se entiende aquí la distancia vertical entre el límite y el valor de la función del cual se parte.
Obviamente, cuando en cualquier espacio se llega al hodón correspondiente, deja de ser cierto para todo ε... existe una distancia menor que ε . No la hay. El hodón es indivisible por definición. No sólo hay hodones en el eje horizontal de la variable independiente. También los hay -y de igual tamaño- en el eje vertical de la función, y es de éstos de los que estamos hablando.
En conclusión, si no se menciona de entrada que existe el hodón indivisible, y además aparecen tanto el cuantor universal todos como la palabra existe, es obvio que la definición habitual de límite está envenenada hasta la raíz por la falacia de la infinitud actual del continuum.
Los matemáticos griegos distinguieron sabiamente entre infinito actual e infinito potencial. Por supuesto, el caso más viejo de infinito actual es el continuum de Zenón. Pero recientemente, en pleno siglo XIX, este mismo absurdo reapareció en los números alef de que hablaba Cantor (Cfr. mi libro “Ser y Verdad”, Ideas y Libros ediciones, Madrid 2023).
El continuum es el infinito actual hacia lo más pequeño. Los alef de Cantor son el infinito actual hacia lo más grande. Pero se trata en realidad del mismo error. La infinitud actual implica la repetición de algo finito, cuando es imposible repetirlo, ya que todo posible ha pasado a actual. Estamos ante una contradictio in adiecto, como decían los medievales. Repetir lo irrepetible.
En cambio, la palabra infinito adquiere sentido razonable, si la entendemos como posibilidad siempre abierta, como un poder-ser, como infinito potencial. En vez de los alef de Cantor, diremos, si hay n palotes de hecho, puede existir el palote n + 1. En el caso del continuum, siempre es posible un hodón más pequeño que el considerado existente.
En el lenguaje matemático se han aceptado universalmente tanto el substantivo continuidad como la denominación función continua. En estricto rigor, estas dos expresiones ni siquiera debieran figurar en los libros de matemáticas. Según lo antes dicho, para expresar lo que se entiende por continuidad, bastaría decir que la función está definida en todos los hodones del eje x, Y si en un hodón concreto la función no
está definida, eso es una discontinuidad. No habría que invocar el concepto previo de límite, como se hace habitualmente, y para más inri pensado como continuum. Sin duda, la noción de límite es indispensable para definir el concepto de derivada e introducir el cálculo infinitesimal. Pero el concepto de límite es fácilmente recuperable, aunque siempre como infinito potencial y nunca como infinito actual. Empíricamente estamos todavía muy lejos del hodón de Planck. Pero supongamos que los físicos han llegado a él en sus experimentos. Sería posible también en ese caso extremo otro mundo con un hodón menor que el nuestro. Si tal mundo existe de hecho, ciertamente nunca lo sabremos. Si entráramos en contacto con él, el hodón de Planck dejaría de ser la distancia mínima en nuestro mundo y cambiarían sus constantes físicas elementales. Pero nos basta saber que en buena lógica esa posibilidad está abierta.
Cabe hacer la recuperación del concepto de límite de dos maneras. Primera, emplear el sistema convencionalmente admitido de la distancia vertical ε, citada al principio, hasta topar con el hodón. El continuum es falso, pero no estropea los cálculos en esta fase inicial. Sólo al llegar al hodón, no hay más remedio que acudir a la posibilidad siempre abierta de una unidad de medida más pequeña que la anterior.
Segunda, comenzar de entrada apelando a un hodón menor. Ahora cambiamos la escala, y conservamos las cantidades. En el primer método, y hasta llegar al hodón, conservábamos la escala y cambiábamos las cantidades. Pero ambos procedimientos conducen al mismo resultado. Basta tener en cuenta que el eje vertical de las y está dividido por el mismo hodón que el eje horizontal de las x, como ya se dijo.
Sin duda el dilema entre infinito actual e infinito potencial en la definición de límite no preocupa mucho a los matemáticos profesionales. Piensan que es una cuestión más propiamente filosófica que matemática. Desde Dedekind, los autores de textos de cálculo infinitesimal reproducen la definición de límite tal como la han recibido y sin entrar a discutirla.
Sin embargo, el amor a la verdad debería predominar sobre la perezosa rutina. Los matemáticos actuales deberían recomponer la definición de límite, explicitando de entrada que todo espacio exige una unidad de medida para la longitud, y que la única manera de que la palabra infinito tenga sentido es como infinito potencial, tal como establecieron sus colegas griegos de una vez para siempre.
Por otra parte, los matemáticos nunca debieran olvidar que su difícil, abstrusa y complicada ciencia empieza por el modesto número 1, con el que denotamos la unidad de medida de cualquier magnitud.
Como indicado al principio, si se prescinde de la unidad de medida, hay libertad para decir lo que a uno le venga en gana. Se puede asegurar que Aquiles nunca alcanzará a la tortuga. Y se puede dar por buena la errónea definición de límite que aparece ahora en cualquier manual de cálculo infinitesimal. En ambos casos topamos con el error básico del continuum: un espacio físico constituido por hodones de longitud cero. Si generalizamos este error a todo tipo de espacio, llegaríamos al siguiente absurdo: “0 + 0 + 0 + 0 + 0 +... = algo”.