Desde los tiempos de Cantor y Dedekind es habitual fundamentar la ciencia matemática en la llamada Teoría de Conjuntos. Se ha generalizado la axiomatización de la misma realizada por Zermelo y Fraenkel, y que se abrevia por ZF.
Sin embargo, esta Teoría tropieza, mi juicio, con cinco serios obstáculos.
Primero. Habla de conjuntos tanto finitos como infinitos. Es obvio entender los conjuntos finitos como algo real-actual. Pero hay que rechazar tanto los conjuntos infinitos actuales de Cantor, los famosos alef, como el infinito continuum de Dedekind. Y no digamos las elucubraciones que se han hecho sobre infinitos aún más infinitos, por así decir. Todo eso es fantástico-actual, productos efectivos de mentes muy imaginativas, pero desconectadas de la realidad.
Segundo. Consecuencia inmediata del absurdo de los infinitos actuales es imaginar que un conjunto pueda ser miembro de sí mismo. O que hay tantos cuadrados 1², 2², 3², 4², 5² ....... como números 1, 2, 3, 4, 5...... Todo eso va contra el sentido común. Desde 1 hasta 10 hay diez números, pero sólo tres son cuadrados: 1, 4 y 9.
Tercero. Se habla del conjunto vacío. Eso es una contradictio in terminis. Y sin embargo se afirma que el conjunto vacío es subconjunto de todo conjunto. Pero la noción de individuo es previa, según la más elemental lógica, a la de conjunto. Si no hay individuos, tampoco hay conjuntos.
Cuarto. El concepto de individuo repetido y siempre repetible sólo puede ser proporcionado por la Lógica. Tanto la noción de unidad, o número UNO, como la del conjunto de los números llamados naturales, sólo tienen sentido, si previamente se posee el concepto de individuo repetido y siempre repetible. Eso equivale a las nociones de ente finito o ente contingente, que tanto la Lógica moderna como la Filosofía tradicional, ofrecen a la Matemática, para que ésta empiece luego a hablar de conjuntos.
Quinto. En los ambientes anglosajones se atribuye todo el mérito del moderno cálculo lógico a Venn y Boole. Pero éstos dos autores sólo ofrecieron el ejemplo de unos puntos en un plano de papel y encerrados en círculos. Una lógica sentencial plenamente formalizada sólo fue lograda por Frege y Peano, aunque unos años más tarde. El símbolo ⸦ de inclusión de conjuntos es un caso particular del operador lógico plenamente formal → . En la Teoría de Conjuntos habitual no queda claro dónde termina la Lógica y dónde empieza propiamente la Matemática.
Para fundamentar la Matemática, lo primero que hace falta es reconocer honestamente la prioridad de la Lógica. Todos los entes matemáticos tienen un componente material, referido ante todo al espacio-tiempo. Sin embargo, antes de estudiarlos con rigor y de modo sistemático, hay que fundamentar la ciencia matemática en lo que llamaremos núcleo lógico, integrado por la Lógica sentencial, la Lógica de cuantores para individuos y la Lógica modal.
En primer lugar, está la Lógica sentencial y la noción de sujeto gramatical del que se afirma o niega un predicado. Dejémosla de lado por el momento, pues volveremos sobre ella.
En segundo lugar, tenemos la la noción de individuo y los tres conceptos básicos de la Lógica cuantorial para individuos: “todos-algunos-ninguno”. En realidad se trata de la parte aprovechable de la Teoría de conjuntos. O sea, las nociones de conjunto y subconjunto, la relación de pertenencia, inclusión, solapamiento o exclusión entre conjuntos, y demás desarrollos ulteriores. Todo eso está contenido in nuce en el llamado triángulo cuantorial y las seis igualdades que en él se contienen:
Dos igualdades entre ninguno y algunos con el negador delante
1ª) no NINGUNO = ALGUNOS ; 2ª) no ALGUNOS = NINGUNO
Dos igualdades entre ninguno y todos con el negador detrás
3ª) NINGUNO no = TODOS ; 4ª) TODOS no = NINGUNO
Dos igualdades entre algunos y todos con el negador delante y detrás
5ª) ALGUNOS = no TODOS no ; 6ª) TODOS = no ALGUNOS no.
Detrás de “todos-algunos-ninguno” se entiende de modo tácito la expresión estar presente. Por ejemplo, consideremos una junta cuyos miembros asisten o no a una reunión de la misma. El negador delante afecta a todo lo que sigue. El negador detrás afecta a estar presente. El lector puede comprobar por sí mismo la verdad enteramente formal de esas seis igualdades.
Salta a la vista que la estructura formal es exactamente la misma que la del triángulo óntico o modal “necesario- posible- nullitas”. (Cfr. “Gödel y la existencia de Dios”, El Imparcial 15/09/25). Y se trata exactamente de la misma figura del triángulo deóntico “obligatorio-permitido-prohibido”. (Cfr. “Fundamento de la Etica”, El Imparcial 27/09/25). Esta sorprendente coincidencia del mismo esquema formal en tres materias tan distintas indica bien claro que estamos pisando el terreno firme.
La diferencia entre esos tres triángulos es sólo de tipo material. El triángulo óntico o modal se refiere a ser o existir. El deóntico a la conducta humana: hacerlo o no hacerlo. El cuantorial a estar presente o no en un punto del espacio-tiempo.
El tercer componente del mencionado núcleo lógico es la Lógica modal. Proporciona el fundamental modus POSIBLE y excluye de entrada las patrañas de Cantor y Dedekind. Es un tema ya tratado extensamente en otras ocasiones. (Cfr. José María Méndez, “Ser y Verdad”, Ideas y Libros Ed. 2023). En lo esencial, la Lógica modal coincide con el triángulo óntico, y por eso lo calificamos indistintamente de óntico o de modal. Usamos más bien óntico para contraponerlo a deóntico.
Un inciso. Los alemanes presumen de que su idioma es el más apropiado para la Filosofía. Ya señalé en otro artículo la innecesaria y confusa abundancia de verbos modales en alemán. (Cfr “Deber-ser y poder-ser”. El Imparcial 06/01/25). Reparemos ahora en que el idioma alemán no distingue entre ser y estar. Ambos conceptos se confunden en la única palabra sein. Traducir al alemán la castiza frase ni son todos los que están, ni están todos los que son pone en un brete a la IA ahora tan de moda. En cambio, en lengua española ser, en el sentido de existir, se refiere al triángulo modal, mientras que estar presente remite al triángulo cuantorial.
Volvamos a nuestro tema con una rectificación. En un artículo anterior escribí que el matemático debería reconocer que la nocíón de sujeto gramatical es anterior a la de individuo. (Cfr. “Lógica, Gramática, Matemática”, El Imparcial 20/06/22). Eso es cierto sin duda. Pero me indujo al error de postular una inexistente precedencia de la Gramática sobre la Matemática. Tres años después me doy cuenta de que esa idea era errónea. Más adelante espero ofrecer una más razonable propuesta de cómo Gramática y Matemática se relacionan con la Lógica.
De momento insistamos en que la Matemática comienza donde termina lo que antes hemos denominado núcleo lógico, o sea, las tres lógicas etiquetadas como sentencial, cuantorial para individuos y modal. Las dos primeras nociones estricta y típicamente matemáticas son orden y cantidad. O sea, los clásicos números naturales, ya sean ordinales o cardinales.
El cero ordinal implica siempre inexistencia. Lo existente comienza con lo que se designe como primero. En cambio el cero cardinal puede indicar inexistencia de calor, como en 0º Kelvin, pero igualmente ser compatible con su existencia, como en 0º Celsius. En este segundo caso se trata más bien del origen arbitrario escogido para una escala de medir.
La noción de orden ha sido desarrollada enormemente hasta lo que conocemos hoy día como Topología. El avance resulta aún más impresionante, si consideramos hasta dónde ha llegado el inicial y modesto concepto de cantidad. Se trata de lo que ahora se suele designar con términos más bien genéricos como Análisis o Cálculo.
Antes dejamos una pregunta en el aire. ¿Dónde ubicar el desarrollo de la Gramática a partir del núcleo lógico? Obviamente los tres triángulos fundamentales forman parte de lenguaje ordinario. Y por otra parte recordamos el fracaso de Russell y Whitehead al intentar formalizar la parte literaria de un libro de matemáticas.
Quizá el engarce correcto entre Lógica y Gramática haya que buscarlo en el desarrollo del esquema sujeto-predicado, propio sobre todo de la Lógica más elemental de todas, la Lógica llamada sentencial. Esa fue la línea equivocada en que Kant se esforzó por mejorar la filosofía disponible en su tiempo. Buscaba lo formal en el interior de los juicios sujeto-predicado. Frege y Peano probaron que la clave estaba en el exterior de los juicios, en la manera de conectar unos con otros.
Pero quizá dentro de los juicios sujeto-predicado se encuentre el fundamento de la Gramática y la explicación de su enorme desarrollo ulterior. Los sujetos, y sobre todo los predicados, pueden ampliarse y extenderse de múltiples maneras. Por ejemplo, desde las dos elementales sentencias o juicios la rosa es bella y la rosa está mustia se puede llegar, añadiendo detalles y matices, tanto a la más sublime poesía como al más prosaico lenguaje ordinario.
Así pues, Gramática y Matemática se fundamentan en el mismo núcleo lógico. Pero de diferente manera. La Gramática se amplia horizontalmente, mientras que la Matemática lo hace en sentido vertical, por decirlo así. Se comprende entonces por qué razón fracasaron Russell y Whitehead en su intento de formalizar todo el lenguaje ordinario. Aunque ambos desarrollos tengan el mismo origen, simbolismo formal por un lado, y abundancia siempre creciente de palabras materiales por otro lado, siguen caminos completamente distintos. Los propios matemáticos han enriquecido el lenguaje ordinario con vocablos nuevos como derivada, integral, gradiente, etc.