Estos dos adjetivos se suelen usar sin haber definido antes qué se entiende exactamente por ellos. De ahí viene una multitud de malentendidos y confusiones. Sin embargo, antes de entrar en materia, recordemos la noción previa de individuo repetible y numerable. No es propiamente un concepto matemático, sino lógico. Lo expresamos gráficamente así: //////////......... Palotes y puntos suspensivos. Esta noción elemental pertenece a lo que se entiende por lógica cuantorial para individuos. Sus dos operadores -el cuantor particular ? al menos uno y el cuantor universal (x) todos- presuponen obviamente la noción de individuo repetible y numerable. Los cuantores no numeran los individuos uno por uno. Eso es tarea del conjunto N, o sea, 1, 2, 3, 4, 5 ..... Pero la Lógica previa supone de modo tácito que hay individuos y además son repetibles y numerables.
Dicho esto, tratemos de precisar los conceptos de infinito e ilimitado. Infinito significa poder ser, la posibilidad de añadir un miembro a una secuencia. Este es el sentido que los matemáticos griegos dieron a la expresión infinito potencial. Hay que limpiar ese concepto de la basura intelectual que introdujeron luego Cantor y Dedekind con los infinitos actuales y el continuum. Hay que mantener siempre vinculados en nuestra mente los términos infinito y poder-ser. Se simboliza por el grafo ?.
Intuitivamente pensamos que ? apunta siempre a lo más grande. Pero obviamente cabe apuntar hacia lo más pequeño partiendo de un número alto cualquiera, como por ejemplo 20, 19, 18, 17....... De suyo, el infinito potencial, o el símbolo ?, comprenden ambos casos. Lo esencial es el poder-ser, el poder añadir siempre un miembro más a la secuencia. Que el nuevo miembro sea más grande o más pequeño que el anterior es algo accidental y secundario.
Se suele decir que las cuatro reglas de la aritmética elemental tienen un agujero: la división por cero. El símbolo ?, entendido en el sentido antes dicho, tapa ese agujero. Por eso, la expresión gráfica correcta sería ///////////........?. O si se prefiere, 1, 2, 3, 4, 5...... ?. Tendríamos la agradable sensación de que esos esquemas están cerrados. Aunque ? no designa un palote que es, sino que puede ser. Los palotes o los números naturales denotan lo real-actual. El símbolo ? denota lo real posible. Con frecuencia se olvida que la realidad se nos ofrece de dos maneras distintas, actual y posible.
Por su parte, ilimitado denota la mera carencia de límite en el sentido en que los matemáticos entienden esta palabra. O sea, una barrera infranqueable a la que siempre es posible acercarse un poco más, aunque sin llegar nunca a ella de hecho. La meta como tal nunca es alcanzada, pero siempre está abierta la posibilidad de acercarse a ella un poco más. Cada avance es menor que el anterior, pero la posibilidad de una ulterior aproximación nunca deja de existir. Con todo, el término ilimitado alude precisamente a la ausencia de esa barrera.
En el lenguaje corriente infinito e ilimitado se suelen entender como sinónimos. Pero de todo lo anterior se deduce que esa asunción es falsa. Se distinguen entre sí. Y además se complementan. La noción de límite que usan los matemáticos implica dos elementos que se reclaman mutuamente: una secuencia de aproximaciones y una barrera infranqueable.
Inmediatamente distinguimos dos combinaciones básicas de los dos adjetivos en cuestión: A.- infinito e ilimitado. B.- infinito y limitado.
El ejemplo obvio de la situación A -infinito e ilimitado a la vez- es el ya mencionado conjunto N. Está sobreentendido que el posible individuo siguiente es el anterior más uno. En símbolos, n & ? n+1. Existen n palotes y el palote n+1 puede existir. El símbolo ? está por puede. Hay un número finito de palotes in actu, y además existe in potentia el siguiente al último palote existente de hecho.
Pero además N es ilimitado. No tropieza nunca con una barrera infranqueable. Lo único que denota el adjetivo ilimitado es la carencia de ese tope u obstáculo insuperable. Es una idea cuyo contenido es puramente negativo.
Pasemos a la combinación B. El infinito topa ahora con un límite infranqueable. Pero aquí se impone una subdivisión. En la situación B1 el tope es un punto. Y en la la situación B2 el tope es una recta.
Como ejemplo de B1 tomemos la serie 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16....... ? 2. Es infinita, pues siempre podemos añadir un miembro más. Pero las sumas que vamos obteniendo nunca llegan de hecho a 2. Por tanto, el guarismo 2 puede ser visto como número 2 o como límite ±2. Usamos ± para indicar que se trata de un límite y no sólo de un número. El grafo 2 es un número, pues forma parte de N. Pero escribimos ±2 cuanto funciona como barrera infranqueable. La secuencia B1 es infinita y a la vez limitada.
Mención especial merece el caso en que el límite es 0. Basta restar en vez de sumar en el ejemplo anterior: 1 - 1/2 - 1/4 - 1/8 - 1/16....... ? 0. Aquí vemos mejor la diferencia entre número 0 y límite ±0 . (Cfr. “El Cero y el Infinito”, El Imparcial 20/10/25). En efecto, las expresiones (0 . ?) = 1 y (0 . ±?) = 1 no tienen sentido. Algo multiplicado por el número 0 da siempre 0. En cambio ±0 no produce tan fatal resultado. Las expresiones (±0 . ?) = 1 y (±0 . ±?) = 1 tienen sentido. Aunque enseguida detallaremos lo que denota exactamente el símbolo ±?.
Pasemos al caso B2. La barrera infranqueable no es ahora un punto sino una recta que llamamos asíntota. Como ejemplo, valgan las funciones tangente x con x = 90º, o bien cotangente x con x = 0º. (Ibidem).
Tenemos tg 90º = sen 90º/cos 90º = 1/0, que tiende a ?. La función no está definida en x = 90º. O su valor es ? en el sentido antes definido del término infinito. Lo expresamos gráficamente mediante la recta vertical asíntota.
Pero a su vez están presentes cuatro aproximaciones a la asíntota: dos por la izquierda (+? para el giro antihorario y -? para el giro horario), y otras dos por la derecha (+? para el giro horario y -? para el giro anti horario). Todo eso es lo que designamos exactamente ±?. (Ibidem)
Lo curioso de este símbolo compuesto ±? es que en él aparece el grafo ?, que previamente hemos definido como infinito o poder-ser, y por tanto nada tiene que ver
en principio con limitado o ilimitado. Pero la naturaleza misma de la asíntota, que ahora hace el papel de barrera infranqueable o tope, nos obliga a combinar ? con el grafo ±. El símbolo compuesto ±? denota aquí lo infinito, pero limitado por una recta en vez de por un punto. Dicho de otro modo. El símbolo ? a secas designa de suyo una secuencia que siempre admite un miembro más. Pero si le ponemos delante ±, aludimos a la situación B2, lo infinito pero limitado por una recta.
Por ejemplo, los valores de la función y = cot x, yendo de 90º a 0º, tienden hacia lo más grande. Pero las respectivas aproximaciones a la asíntota tienden hacia lo más pequeño. En cambio, cuando se trata de un punto como límite, tanto los valores de la función como las aproximaciones tienden hacia lo más pequeño. En realidad esa es la única y no decisiva diferencia entre los casos B1 y B2. (Ibidem)
En general, si n es un número, entendemos por ±n ese mismo número cuando actúa como límite o barrera infranqueable. Podemos representarlo como un punto. Esa notación vale también para 0 y ±0. Pero obviamente no se aplica a la pareja de signos ? y ±?. El primer símbolo corresponde al infinito potencial de los griegos. El segundo se aplica a las asintotas de las funciones tangente y cotangente. Tratándose de ideas tan dispares ¿por que usar el mismo grafo ??
Ya dí la explicación en el articulo El cero y el infinito. Empecé elucubrando sobre las asíntotas y describí ±? como un límite. Luego llegué a la conclusión de que el producto (±0 . ±?) es también un límite y tiende a 1. El grafo ±0 denota el poder ser con barrera 0. El grafo ? denota el poder-ser sin barrera alguna. En un tercer momento me dí cuenta de que (±0 . ?) ?1 es la mejor manera de formalizar la frase -imprecisa pero certera en el fondo- cero por infinito es la unidad.
Forse altro cantera con miglior plettro.
En resumen, infinito e ilimitado no son exactamente lo mismo. Pero son dos nociones íntimamente relacionadas entre sí. Resultan las tres posiciones antes dichas: A.- lo infinito e ilimitado a la vez; B1.- lo infinito y limitado por un punto; B2.- lo infinito y limitado por una asíntota.
Sin duda todo esto es completamente inútil para el ingeniero que proyecta un puente o calcula la estructura de un edificio. Pero es interesante para los que se interrogan sobre la frontera entre lógica y matemática. A mi juicio, se trata de algo bastante más serio que la contradictoria Teoría de Conjuntos, que ahora se despacha de modo mostrenco.