El Primer Teorema afirma que la Lógica de cuantores para individuos es completa. Y por completud se entiende que a partir de unos axiomas se puede demostrar en el cálculo cualquier fórmula que fuese una validez, o sea, verdadera en todo mundo posible.
Gödel supuso que el Conjunto N de los números naturales 1. 2, 3, 4.... es modelo para dicha Lógica. Todas y cada una de las fórmulas consistentes serían satisfechas, como se dice en la jerga, en ese modelo. Todas serían verdaderas en sentido material, pues tendrían un correlato real en el Conjunto N. Según Gödel, toda consistencia de la Lógica cuantorial para individuos dice algo sobre N, aunque no sepamos qué.
La idea básica de Gödel era que un modelo es un mundo real-actual X en el cual se puede ir de una parte a cualquier otra parte de él. Por tanto, en un cálculo que fuese copia perfecta de ese mundo X, también se podría hacer lo mismo: ir desde los axiomas hasta cualquier validez que se quiera demostrar que es tal. Una validez empalma dos consistencias mediante el implicador; el conjunto de premisas y la conclusión. Y las premisas están satisfechas en el mundo X.
Sin embargo Gödel olvidó que la negación de una consistencia es también una consistencia. Si hubiera un procedimiento capaz de probarlo todo en dicho cálculo lógico para individuos, el modelo no sólo tendría que satisfacer las consistencias positivas, las únicas en que Gödel pensaba, sino también las negativas. Tanto unas como otras podrían ser premisas adecuadas de una validez. En consecuencia sería un sistema capaz de probar A como validez y además no A también como validez. Obviamente topamos con una contradicción.
Aparte de eso, hay otras razones de no menor peso, que el lector interesado puede encontrar en “Patrañas de Cantor y Gödel” (El Imparcial 22/05/2020). En todo caso, la imposibilidad de un modelo que satisficiera a la vez todas las consistencias, las positivas y sus negaciones, equivale a decir que la Lógica de cuantores para individuos no es completa. Todo lo contrario de lo que asegura el Primer Teorema de Gödel.
El mucho más famoso Segundo Teorema afirma que la Lógica superior de cuantores para predicados -más compleja que la de individuos- es incompleta. Para probarlo, Gödel desarrolló una hercúlea demostración basada en los llamados números Gödel, que sin duda causa la mayor admiración en cualquiera que intente seguir tan sofisticada empresa intelectual. Sin embargo, lo menos que puede decirse de ese enorme trabajo es que era innecesario y superfluo. Si la Lógica cuantorial para individuos es incompleta, a fortiori también lo será la Lógica cuantorial para predicados, que se construye sobre la base más sencilla de la anterior. El Segundo Teorema es verdadero, sin duda, pero trivial.
Por otra parte, todos los números son palabras; no cosas (Cfr. El Imparcial,
09/01/2026). Los números Gödel son también palabras cuyo único correlato son las ideas en su mente y las de quienes estén de acuerdo con él. Los números Gödel están igualmente sujetos a la regla de no colocar al mismo nivel el lenguaje objeto y el metalenguaje, so pena de incidir en la paradoja del mentiroso. Gödel partió del supuesto de que los números en general, y desde luego los que llevan su nombre, escapan a la regla de no mezclar lenguajes. Así pues, opino que la célebre fórmula que se declara a sí misma como no demostrable, está fuera de la legalidad lógica.
Con todo, cabe ir más lejos y preguntarnos si el concepto mismo de completud tiene sentido para el reciente cálculo lógico. Más adecuado parece aquí el concepto de decibilidad. Dada una fórmula bien escrita, ser capaces de decidir si se trata de una validez o no.
En efecto, si una fórmula es una validez en lógica sentencial, entonces puede ponerse en su forma normal conjuntiva FNC. Por ejemplo, el modus ponens {(P→ Q) & P} → Q tiene como FNC (P V -P V Q) & (-Q V -P V Q), donde V es el disyuntor inclusivo y & el conjuntor. La FNC del modus tollens tiene las mismas letras pero en orden distinto : (P V Q V -P) & (-Q V Q V -P).
Primero hay que convertir los dos implicadores en disyuntores, y luego aplicar lss reglas de distribución entre V y &, de manera que & esté siempre fuera de los paréntesis y V siempre dentro de ellos. Si no se consigue esa FNC, la fórmula en examen no es una validez. Cabe decidir por ende si se trata de una validez o no, y sin que quepa ambigüedad alguna.
Si los matemáticos no consiguen superar la nostalgia por Euclides, propongamos entonces que toda validez en lógica sentencial se obtiene a partir de un axioma y dos reglas.
Axioma: el tertio excluso de los medievales ( A V -A).
Regla primera: añadir nuevas letras, afirmadas o negadas, mediante el disyuntor inclusivo dentro de los paréntesis. Pasar de ( A V -A) a ( A V -A V -B). Regla segunda: añadir nuevos miembros iguales al primero mediante el conjuntor fuera de los paréntesis. Pasar de ( B V -B) a {( B V -B) & (C V -C)}. El único axioma y las dos reglas equivalen a obtener una validez cualquiera a partir de su FNC. Es el camino inverso al antes indicado para modus ponens y modus tollens.
Todo lo anterior se refiere a la lógica sentencial. Si pasamos a la lógica cuantorial para individuos, hay que añadir una Regla tercera para instanciar los cuantores, como se dice en la jerga. O sea, entender ∃x como una abreviatura del mundo-2 constituido por el individuo a o el individuo b, (a V b). Y entender (x) como abreviatura del mundo-2 formado por el individuo a y el individuo b, (a & b).
El regreso al venerable método de Euclides restauraría el concepto de completud para la lógica cuantorial para individuos. El célebre Segundo Teorema de Gödel volvería a ser verdadero, aunque no por la trampa de los números Gödel, sino porque su Primer Teorema es falso.
Con todo, volvamos al terreno más seguro de la decibilidad. La doctrina ortodoxa, `por así decir, sostiene que la lógica cuantorial para individuos es indecidible. La máquina de Turing, que iría comprobando los diversos mundo-2, mundo-3, mundo-4......, cada uno con un nuevo individuo, no se pararía nunca,
supuesto que el infinito actual alef-0 de Cantor fuese verdadero.
Pero es falso. El cuantor universal todos (x) es incompatible con que no exista un último individuo. Para incluir a todos los individuos, alguno tiene que ser el último. En realidad, basta con que la máquina de Turing se pare en el mundo-2 al hacer su trabajo. Lo que ocurra en el mundo-2 se repetirá en el mundo-3. Y así sucesivamente,
Muchos pensadores suelen invocar el Segundo Teorema de Gödel como un buen ejemplo para ilustrar las limitaciones del conocimiento humano. Simpatizo por supuesto con su buena intención. Pero hay mejores razonamientos a los que recurrir. Son más sólidos que el trivial, aunque famoso Teorema de incompletud.
Tenemos a mano la comparación entre Física cuántica y Física clásica. Descubrir nuevas partículas ha aumentado nuestros conocimiento en extensión. Pero contentarnos con probabilidades en vez de determinaciones exactas disminuye nuestro conocimiento en profundidad. Sabemos más cosas sobre la Naturaleza, pero el secreto último de cómo es en realidad la Naturaleza se ha alejado de nosotros más de lo que ya estaba.