Se suele pensar que la ciencia matemática empieza, tanto en sentido histórico como sistemático, por el Conjunto N de los números que significativamente calificamos de naturales. Los límites se introducen después, y además como acertijos. Si tienes una secuencia de aproximaciones convergentes, adivina cuál es la meta a la que apunta. El punto de vista dominante hasta nuestros días ha sido, y sigue siendo, primero son los números naturales -conjunto N- y después, bastante después, viene el concepto de límite.
Y se comprende que se haya consolidado este criterio. Una vez en posesión de las Tablas de sumar y multiplicar, todo va sobre ruedas hasta llegar a la división por 0. Y sólo entonces aparece como una idea ex novo el concepto de límite. Al dividir por números cada vez más pequeños, nunca terminamos la tarea. Entonces se introduce el símbolo ∞.
Pero en estricto rigor la noción de límite debiera aparecer mucho antes, incluso al mismo tiempo que el conjunto N. Sólo los números enteros y los fraccionarios exactos denotan una cantidad precisa y concreta. En cambio, los demás números racionales, y por supuesto los irracionales, designan tendencias en las sucesivas aproximaciones, es decir, límites. Podemos expresarlos como una serie de sumandos y puntos suspensivos. Por ejemplo 7/3 = 2+0,3+0,03+ 0,003...... y √2 = 1+0,4+0,01+0.004.....
A mi juicio, el concepto de límite habría que proponerlo al principio del razonamiento matemático. Por supuesto, a continuación de los números naturales enteros o conjunto N. Pero inmediatamente después.
Los límites son ideas matemáticas más complejas o sofisticadas que los números. Un número es simple. Tiene un solo elemento. En cambio un límite consta de dos elementos: una secuencia de aproximaciones y una meta a la que apuntan. Ambos elementos componen un todo, para el que reservamos la palabra límite. No debemos ver la secuencia de aproximaciones como premisas y la meta como conclusión, como se hace habitualmente, sino que tenemos delante algo, que debiera ser visto de entrada como un todo. Ambos elementos -aproximaciones y meta- son mutuamente indispensables e integran la noción de límite.
Así pues, pensemos en un mismo ente matemático, que se presenta, bien en forma de número o bien en forma de límite. Incluso cualquier entero puede ser presentado como un límite. Se consigue con la suma de una progresión geométrica cuya razón sea n dividido por n+1. Por ejemplo, 3 = 1+ 2/3 + 22/32+ 23/33 +.......
Y hasta una fracción exacta puede ser vista como una serie. Por ejemplo, 1/4 = 0 +0,2+0,005+0,0000+0,00000..........
Usaremos esta notación: el signo n denota un número entero cualquiera, y el signo ±n es el mismo número en cuanto limite, o sea, como la meta a la que se acerca
cada vez más la suma de los miembros de una serie, sin alcanzarla nunca. En concreto, 0 a secas denota cero como número y ±0 denota cero como limite. Un límite especialmente importante, como veremos a continuación. Delante de ∞ no ponemos ±. No se trata propiamente de un límite con tope infranqueable, y tampoco de un número concreto.
Dicho esto, volvamos al Conjunto N con que empezamos. Podemos presentarlo en dos modalidades, creciente y decreciente. No sólo la creciente, como se hace habitualmente. Y ademas introducimos los dos conceptos de infinitud más obvios y elementales, hacia lo más grande y hacia lo más pequeño, que designamos por ∞ y por ±0.
Recordemos el sentido que damos a los adjetivos infinito, limitado e ilimitado. Infinito es el poder-ser repetido. Limitado/ilimitado es topar o no con una barrera insuperable para esa repetición. (Cfr. “Infinito e ilimitado ¿son lo mismo?”, El Imparcial 24/12/25).
Intentemos ahora expresar el Conjunto N usando a la vez números y límites. El Conjunto N creciente es infinito e ilimitado: 0, 1, 2, 3, 4......... ∞ . Empieza con el número 0 y termina con el símbolo ∞, indicando que se trata
de una fórmula cerrada. La tentación de los alef de Cantor queda cortada de raíz. Hemos estipulado antes que infinito y poder-ser son lo mismo por definición, tal como pensaban los matemáticos griegos.
El Conjunto N decreciente es infinito y limitado: 5, 4, 3, 2, 1......... ±0. El símbolo ±0 indica que cero es visto ahora como una meta a la que nos aproximamos cada vez más, sin alcanzarla nunca plenamente, o sea, como límite. Queda igualmente descartado de entrada el continuum de Dedekind. Los números enteros 5, 4, 3, 2, 1 denotan individuos que nunca desaparecen en la nada. Obviamente cabe empezar desde cualquier entero superior a 5.
Por último, el producto del infinito hacia lo más multiplicado por el infinito hacia lo más pequeño nos devuelve a la finitud. Reaparece nada menos que la unidad. Lo expresamos mediante la fórmula (∞ . ±0) = 1. (Cfr. “El cero y el Infinito”, El Imparcial 20/10/25).
A mi modo de ver, es así como debiera presentarse el Conjunto N al niño que comienza la dura tarea de aprender aritmética, para que nunca en el futuro sea desconcertado por los fantasmas que deslumbraron a Cantor y Dedekind.
Por otra parte es casi imposible en la práctica lograr una exacta comprensión del moderno cálculo lógico, hasta que no se hayan limpiado las mentes de los adultos de las espesas telarañas intelectuales que nos legaron los dos célebres matemáticos, que bien podemos calificar de románticos.
Espronceda, tiró al río Tajo en Lisboa las pocas monedas que llevaba, para no entrar en tan gran ciudad con tan poco dinero. En el caso de Cantor y Dedekind las lo que tiraron al río consistió en lo que habitualmente denotamos con la expresión sentido común.