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TRIBUNA

El paraíso de Cantor

José María Méndez
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axiologiatelefonicanet/9/9/20
viernes 05 de agosto de 2022, 19:41h

Manuel Cabada Castro ha publicado un extenso y erudito artículo en el número 246 de la la Revista PENSAMIENTO, año 2009. sobre el polémico tema de los infinitos actuales de Cantor. No se pronuncia sobre si existen o no tales infinitos. Mas bien se extiende sobre las preocupaciones filosóficas y religiosas de Cantor, que en efecto eran muy profundas. Así lo prueban las abundantes citas de cartas de Cantor y a Cantor, que se contienen en este trabajo.

Pero aquí nos interesa de lleno el problema de cuál sea el correlato real de las ideas que estaban en la mente de Cantor. Pues es claro que puede haber ideas en una ente pensante que no tienen correlato real alguno. Las consideramos como meras fantasías, sueños, imaginaciones u ocurrencias.

Bertrand Russell ponía como ejemplo la frase “el actual Rey de Francia es calvo”. El sujeto gramatical de la frase no existe. No hay nadie en el año 2022, en que esto escribo, que sea el Rey de Francia. La frase no dice nada. Carece de sentido, precisamente porque no hay correlato real para la idea “el actual rey de Francia”. Por tanto, es lícito preguntarse cuál pueda ser el correlato real de las sorprendentes ideas de Cantor.

Los matemáticos griegos pensaron que el conjunto N de los números naturales 1,2,3,4..... es siempre finito. Lo podemos representar así: //////..... Existen n palotes y el palote (n+1)º no existe pero puede existir. Hay dos clases de realidades. El palote nº es real-actual y lo representamos por el último palote. El palote (n+1)º es real posible y lo representamos por el primer punto suspensivo.

Así se pensó hasta que Cantor tuvo la ocurrencia de suponer que desaparecen los puntos suspensivos. Todo son palotes y además en número actualmente infinito. Si los palotes están por los números naturales, existe una infinitud actual de ellos; alef-0 en terminología cantoriana. Es el “infinito enumerable”, el más pequeño de los números transfinitos, pues pueden construirse otros infinitos más densos o complejos a partir de alef-0.

En primer lugar, tengamos presente que los números 1,2,3,4.... son ideas, no cosas existentes de hecho. No existe el número 4 como cosa, sino como idea o palabra que expresa esa idea. Lo que existe de modo actual son cuartetos de individuos: las cuatro patas de un caballo, las cuatro paredes de una habitación, los cuatro palos de la baraja, los cuatro puntos cardinales, las cuatro estaciones del año. El número 4 denota algo que tienen en común todos esos cuartetos. Se trata de una idea. Más concretamente, una relación tetrádica entre individuos. Los números naturales son ideas, pero Cantor los trata como si fueran cosas o individuos tangibles.

En segundo lugar, una vez cometido este error de partida, Cantor debiera luego haberse dado cuenta de que el cuantor universal “todos” de la lógica cuantorial para individuos, es incompartible con el infinito enumerable. Como no hay un último individuo, el cuantor “todos” deja de tener sentido. Nunca puede abarcar a todos los

individuos, sin dejar ninguno fuera. Más bien el cuantor universal presupone que el número de individuos en cuestión es siempre finito. En todo espacio de cosas simultáneamente existentes de modo actual una es la primera y otra es la última. Todo lo que empieza también termina.

Recordemos además que la lógica de cuantores para individuos precede y condiciona todo lo que luego puedan hacer o decir los matemáticos sobre los números naturales (Cfr. mi artículo “Lógica, Gramática, Matemática”, El Imparcial 20/06/22). Los matemáticos no pueden ir contra la lógica. En el conflicto entre el cuantor universal y el infinito enumerable, prevalece el cuantor.

Hay un tercer motivo para rechazar los infinitos actuales. Tomemos la secuencia de grafos //////..... como si fuera un correlato real de los números naturales. El último palote n es el último individuo real-actual. El primer punto suspensivo denota la posibilidad de existir del individuo siguiente (n+1)º.

Viene aquí a cuento la distinción entre esencia y existencia introducida por Avicena. El último palote y el primer punto suspensivo pueden tener la misma esencia. Pero uno existe de modo actual y el otro existe como posibilidad aún no actualizada.

Eliminar la distinción entre lo real-actual y lo real-posible es el más grave de los tres errores de Cantor aquí considerados. Ahora da igual si los números son ideas o cosas. Tanto en un caso como en otro, Cantor ha sacado de la escena nada menos que a “lo posible”. Los puntos suspensivos se convierten en palotes, para decirlo de modo gráfico. Ya no hay un palote que sea el último. Si lo fuera, entonces el conjunto N sería finito. Sencillamente, desaparece lo real-posible. Sólo queda lo real-actual. ¿Es esto admisible?

La reciente formalización de la lógica nos permite llegar al fondo de esta cuestión. Establece la triple correspondencia entre los tres integrantes del ESSE, o lo que tiene existencia, y los tres integrantes del LOGOS, o ideas en nuestra mente. Frente a lo válido está lo necesario. Frente a lo consistente está lo posible. Frente a lo contradictorio está lo imposible.

No cabe por tanto eliminar de la escena a lo posible, como hace Cantor. Si lo hizo, es porque desconocía esa triple correspondencia, que es el inicio mismo del pensar. Justo lo que ahora podemos poner como punto de partida, en vez del “cogito ergo sum” que propuso Descartes.

Así pues, los infinitos actuales de Cantor son incompatibles con el cálculo lógico descubierto por Frege y Peano y que ha permitido que ahora tengamos nuestros flamantes ordenadores. Los matemáticos que todavía admiten de modo acrítico los fantásticos “números transfinitos” debieran prescindir de sus ordenadores y volver a las viejas máquinas de escribir.

Curiosamente, Cantor no aceptó el salto a la infinitud actual con los infinitésimos de Leibniz. Quizá le retenía la observación de Zenón de Elea, Si el espacio estuviera infinitamente dividido de hecho, Aquiles nunca alcanzaría a la tortuga. Pero rápidamente sus seguidores se sacaron de la manga el “infinito contiuuo”. Ahora no son los individuos posibles los que desaparecen del mapa. Son los mismos individuos actuales los que son engullidos por la cinta continua que resulta al multiplicarse los nuevos palotes en los huecos entre ellos, dicho sea

también de manera gráfica. Incluso se estimó como problema indagar si el infinito continuo coincidiría o no con alguno de los transfinitos superiores a alef-0. En los años finales del siglo XIX y principios del XX el enorme prestigio de David Hilbert popularizó las patrañas de Cantor. En 1899, cuando publicó sus “Fundamentos de Geometría” Hilbert estaba en el ápice de su entusiasmo por los infinitos actuales. Acuñó la célebre frase “Cantor ha creado un paraíso para los matemáticos y nadie los expulsara de él”.

Pero en 1926 él mismo se expulsó del maravilloso jardín de delicias. En un artículo titulado “Sobre el infinito” escribió lo siguiente. «El infinito no se encuentra realizado en parte alguna; ni existe en la naturaleza ni es admisible como fundamento en nuestro pensamiento intelectual […] El operar con el infinito puede ser únicamente garantizado por medio de lo finito. El papel que le queda al infinito es simplemente el de una idea”. (Pag 710 del número 276 de la Revista “Pensamiento”). Una idea sin correlato real alguno, cabría añadir.

Lo curioso del caso es que la gran mayoría de los matemáticos actuales aún siguen todavía dentro del fantástico paraíso de Cantor, en vez de seguir el ejemplo menos conocido de Hilbert escapando por pies de él.

Quizá lo más importante de todo en esta cuestión sea el peculiar carácter psíquico de Cantor, o su no muy equilibrado estado anímico. De hecho estuvo varias veces internado en un psiquiátrico por depresión. De las citas de su correspondencia activa y pasiva recogida por Cabana se deduce que le preocupaban de modo casi obsesivo las consecuencias religiosas de sus infinitos actuales.En una de sus cartas escribe nada menos que esto. “Estoy muy lejos de adjudicarme a mí mismo mis descubrimientos como personal mérito mío, puesto que no soy sino un instrumento de un poder superior, que seguirá actuando después de mí, del mismo modo que se manifestó hace milenios en Euclides y Arquímedes» (Pag 709 Ibidem). La íntima convicción de haber recibido un mensaje divino para toda la humanidad coincidió en su caso con la desbordada fantasía de un matemático superdotado. Eso explicaría todo.

José María Méndez

Presidente de la Asociación Estudios de Axiología

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