Los números son palabras; no cosas

No existe el número 4. Lo que existe son muchos cuartetos: cuatro puntos cardinales, cuatro estaciones en el año, cuatro esquinas en una habitación, cuatro palos en la baraja, cuatro patas en un caballo, etc. Existe algo que tienen en común todos los cuartetos. El número entero 4 es por tanto una idea o una palabra material, que designa ese algo real que se da en todos los cuartetos.

Obviamente, el mismo criterio vale para todo lo derivado a partir de 4. como el número racional 4/9 = 0,44444...... y el número irracional 3√4 = 1,587401.......El hecho mismo de que tengamos que usar puntos suspensivos para expresar en forma decimal estos números está diciendo a gritos que no se trata de realidades de nuestro mundo, sino de ideas en una mente pensante, que se convierten en palabras materiales cuando las ideas pasan de una mente a otra mediante el lenguaje. Sin embargo, en los libros de matemáticas se habla de los números reales -el conjunto de enteros, racionales e irracionales- como si fueran cosas y no palabras. El adjetivo real induce al error.

Por otra parte, se recurre a especulaciones, ciertamente alambicadas, para derivarlo todo a partir del Conjunto N. La definición estricta de número real es uno de los pasos más difíciles en las matemáticas básicas (R.G.D. Allen, “Introducción a la Matemática Moderna”, Ed. Aguilar, Madrid 1974, Pag. 44).

Por ejemplo, se intenta deducir los irracionales a partir de los racionales, y así se habla de cortaduras o de segmentos encajados. Los mismos verbos cortar y encajar indican bien claro que se está pensando en algo accesible a nuestro sentido del tacto, algo que podemos tocar o palpar, cosas y no palabras.

En vez de esas complicadas e innecesarias elucubraciones, lo correcto es simplemente aceptar sin más la legalidad formal de las tres operaciones elementales de la aritmética: sumar-restar, multiplicar-dividir y potenciar-radicar. Es el mismo criterio que usamos al aceptar de entrada la legalidad formal previa del lenguaje ordinario, lo que entendemos por Lógica. Hay que asumir igualmente de entrada esa segunda legalidad formal que aparece ya en las cuatro reglas de la aritmética. Y luego extenderla a cálculos más sofisticados, pero de modo siempre formal. Todo lo más, podríamos comprobar ex post que 3 por 4 son en efecto 12, haciendo cuatro montones con tres piedras cada uno, o tres montones con cuatro piedras cada uno. Pero no tiene sentido justificar lo formal ex ante, pues como tal se impone absolutamente a nuestra facultad de conocer, tanto en las elementales cuatro reglas como en los desarrollos posteriores.

Relacionado con lo anterior está el hecho de que los números racionales son numerables y en cambio los irracionales parecen ser no-numerables. Cantor se basó en la hipótesis de que son no-numerables, para introducir la cardinalidad transfinita alef-1, que vendría a continuación de alef-0, propio de los supuestos infinitos actuales numerables.

Recordemos la famosa diagonal de Cantor. Hacemos una pila de números supuestamente irracionales y los vamos contando. Pero al hacerlo, dejaremos de contar por fuerza el irrracional que difiere en el primer dígito del primer irracional de la lista, difiere en el segundo dígito del segundo irracional de la lista, etc., etc. Los irracionales serían por tanto no-numerables.

Sin duda la propuesta es ingeniosa. Pero se pueden objetar dos defectos. Primero, escribir sin más una secuencia al azar de dígitos seguida de puntos suspensivos no implica que se trate de un genuino número irracional, o sea, una palabra material que denote algo real o existente de hecho. Si no se explicita el procedimiento para calcular esos dígitos, se trata de un flatus vocis. No hay correlato real. No se dice nada. Igual que ocurre con la frase el actual Rey de Francia es calvo dicha en el año 2025, para recordar el ejemplo que ponía Russell. No se trata propiamente de una frase falsa, porque ni siquiera es una frase, aunque lo parezca. En la realidad sólo hay irracionales algebraicos, como las raíces de números enteros, e irracionales trascendentes como π (por Pitágoras) o e (por Euler). Los irracionales algebraicos podemos contarlos. Las raíces tienen dos índices -base y exponente, pueden ubicarse en un plano y por tanto numerarse empezando por una esquina. Y los irracionales trascendentes son muy pocos, habas contadas. Así pues, no está nada claro que los irracionales no puedan ser contados o numerados. Segundo, aún admitiendo que fuesen no-numerables, eso sería ausencia de conocimiento. De ese vacío no se puede sacar por ensalmo un concepto positivo como alef-1. De un no-sé no cabe inferir un sé-algo. De nuevo Cantor pasa por encima del sentido común más elemental.

Sigamos adelante en el desarrollo de los números. En tiempos de Euler se introdujo la unidad imaginaria i como raíz cuadrada de -1. Era la manera de solucionar la ambigüedad de que la raíz par de un número negativo puede ser tanto positiva como negativa. Así surgieron los números complejos, con su parte real y su parte imaginaria.

El adjetivo imaginario, como opuesto a real, expresa la perplejidad de aquellos matemáticos, que no se explicaban qué realidad concreta podría denotar i. La solución vino con la Física cuántica. Hasta entonces la Física que llamamos clásica había funcionado con éxito operando únicamente con números reales. Sin embargo el famoso enigma de las dos rendijas sólo pudo resolverse cuando se emplearon números complejos. Son éstos los que permiten explicar lo que ocurre en el espacio-tiempo visto como un conjunto indisoluble. En cambio, la Física clásica consideraba espacio y tiempo como entidades independientes.

Podemos superar entonces nuestra primera impresión de que los números naturales-ordinales son intuición del tiempo y los naturales-cardinales intuición del espacio. Este planteamiento era una etapa provisional. La definitiva es ver los números complejos como los apropiados para tratar el espacio-tiempo tomado como un todo. Sólo que ya no viene a cuento la palabra intuición. Hemos llegado a vincular los números completos con el espacio-tiempo después de mucha y alambicada elucubración teórica. No es algo que caiga bajo la experiencia directa de nuestros cinco dedos en cada mano.

Más bien apreciamos aquí el patente desfase entre lo que sabemos por una

parte y por otra lo que está al alcance de nuestros sentidos. Apreciamos esta obvia limitación de nuestro conocimiento en forma de paradojas inexplicables y bien llamativas. La Teoría de la Relatividad nos dice que el mellizo que viaja por el espacio-tiempo se hace más joven que el mellizo que no se mueve de su sitio. Y Schrödinger nos habla del gato que está medio vivo y medio muerto a la vez. Cuando la función ψ colapsa, como se dice en la jerga, el gato se hace enteramente vivo. O en términos más técnicos, los módulos cuadrados de los números complejos son números reales. Indican la probabilidad de que ahí se encuentre alguna realidad cuántica captable de alguna manera con nuestros aparatos o instrumentos. En cambio, en Física clásica los cálculos señalaban el sitio exacto. En Física cuántica hemos de conformarnos con aproximaciones.

En todo caso nos damos cuenta de que ha desaparecido aquella confortable comodidad mental tan propia de la Física clásica. Entonces creíamos saberlo todo hasta el fondo. Ahora hemos de renunciar a comprender hasta el final el misterio último de la Naturaleza. Bastante es que podamos utilizarla en nuestro provecho y mejorar nuestras condiciones de vida.

Volviendo al titulo de este artículo, los números complejos tampoco son cosas, sino palabras. Palabras ciertamente mucho más significativas y potentes que las que estaban al principio a nuestro alcance. Desde los números naturales 1, 2, 3, 4, 5..... hasta los números complejos a + bi hemos recorrido un larguísimo camino. Pero cuanto más sabemos en extensión, tanto más crece en profundidad el abismo entre la potencia cognoscitiva de nuestra mente pensante y el muy escaso alcance de nuestra capacidad empírica.

Digamos que nuestro saber teórico aumenta sin cesar, pero la sensibilidad de nuestros ojos, oídos y tacto no se incrementa; sigue al mismo nivel que tenía en tiempos de Adán y Eva. Admitir este desfase siempre creciente nos haría más humildes y sensatos intelectualmente. Renunciaríamos a la extendida e infantil creencia de que la CIENCIA, con mayúsculas, resolverá más pronto o más tarde todos los misterios de la Naturaleza.