El cero y el infinito

Este fue el título en español de la famosa novela de Arthur Koestler. Pero aquí vamos a tratarlos como meros entes matemáticos.

Partamos de la función tangente de x cuando x tiende a 90º. Tropezamos con la expresión 1 / 0, de la que suele decirse que es el agujero sin tapar de la aritmética elemental. Para todos los demás ángulos de tg x obtenemos números racionales concretos. Pero en 90º no encontramos un número, sino el límite al que tienden sucesivas aproximaciones.

Hemos considerado el sentido antihorario y los ángulos positivos. Podemos usar el símbolo + ∞ para denotar lo que hemos conseguido: una última aproximación y la posibilidad de hacer la siguiente. Para el sentido horario y ángulos negativos usaremos - ∞.

Al unir ambas informaciones, resulta que que tg x → ± ∞ cuando x → 90º. El símbolo ± ∞ intenta expresar un genuino límite y sus dos aproximaciones. Como la vamos a usar más adelante, en adelante consideremos mejor la función cotangente, y = cot x cuando x tiende a 0º.

Se suele presentar la gráfica de cot x con los ángulos antihorarios (positivos) a la derecha de una recta vertical como origen, y los ángulos horarios (negativos) a la izquierda de la misma. Pero más adherente a la realidad es referir todos los valores de cot x al eje horizontal de las x, los antihorarios por encima y los horarios por debajo.

Quizá la razón para la presentación usual es que no se solapen las dos gráficas, antihoraria y horaria, y así evitar confusiones. Pero el precio ha sido que algunos matemáticos piensen que en cot x no hay un verdadero límite cuando x → 0º, pues no hay más que una aproximación y no dos.

Si el lector se entretiene en dibujar ambas gráficas, solapándolas hacia la derecha por ejemplo, verá que hay dos claros límites de valor cero en 90º y en 270º, cuando las dos gráficas intersectan. Veamos si también hay límite en 0º.

Aunque se trataría ciertamente de un límite un tanto peculiar. Cuando el ángulo es 0º, dibujamos una recta vertical, que llamaremos asíntota. En su parte superior vemos cómo hacia ella confluyen los valores -∞ por la izquierda (giro horario) y + ∞ por la derecha (giro antihorario). Y en su parte inferior confluyen + ∞ por la izquierda (giro antihorario) y -∞ por la derecha (giro horario). En vez de la ordinaria y única pareja de aproximaciones, una por la derecha y otra por la izquierda, en este caso tenemos dos parejas de aproximaciones, y cada pareja consta de -∞ y + ∞ .

En rigor la mencionada asíntota cuando x vale 0º hace el mismo papel que el punto que a veces se dibuja con un circulito en los ángulos 90º y 270º. También aquí confluyen hacia un punto en el eje horizontal dos parejas de aproximaciones y cada pareja consta de -∞ y + ∞ .

Igualmente hacia la asíntota en x = 0º confluyen dos parejas de aproximaciones, como antes dicho. Y cada pareja está compuesta de + ∞ y de - ∞,

que unificamos con el símbolo ± ∞. O sea, la función y = cot x tiene límite ± ∞ cuando x → 0º. Algunos piensan que no hay límite en este caso. Otros dicen que hay límite y es justo + ∞. Esto último es una verdad parcial, pues sólo tiene en cuenta una aproximación de las cuatro pertinentes.

La única diferencia entre el par de ángulos 0º y 180º, con límite ± ∞ , y el par 90º y 270º, con límite 0 , consiste en que 0 es a la vez un número y un límite, mientras que ± ∞ es un límite, pero nunca un número determinado. Aunque para evitar equívocos, en adelante escribiremos 0 cuando se trate de cero como número, y en cambio escribiremos ± 0 cuando se trate de cero como límite, sugiriendo también una pareja de aproximaciones como mínimo.

Sin embargo, que sea un punto o una recta lo que separe las aproximaciones no es esencial para la definición de límite. En cambio parece decisivo que las dos aproximaciones a la asíntota en x = 0º por la izquierda sean imagen especular de las dos por la derecha, y viceversa. A estos efectos da igual una recta que un punto. Tanto éste como aquélla pueden ser vistos como un espejo. Nada impide imaginar una asíntota vertical en 90º y 270º, que visualice la misma reflexión especular entre las aproximaciones + ∞ y - ∞ que observamos en 0º y 180º.

Tratemos ahora de acercar estos dos fundamentales límites, ± 0 y ± ∞. Consideremos el límite de un producto de dos límites que tienen la misma variable independiente x, y ésta tiende a 0 en ambos casos. El primer límite es el de la función ya = x. El segundo el de la función yb = cot x. Ponemos los innecesarios subíndices “a” y “b” para evitar cualquier equívoco.

¿Cuál es el límite de la función producto de ambas (x . cot x) cuando x → 0º? Que el límite de la función ya = x es ±0 cuando x → 0º es bien fácil de entender. Se trata de la recta inclinada 45º. Las aproximaciones negativas de la función desde un valor de x negativo convergen hacia ± 0 por abajo, del mismo modo que las aproximaciones positivas de dicha función lo hacen por arriba desde un valor positivo del eje x.

Y en cuanto al límite de yb = cot x cuando x → 0º antes hemos observado que, si se solapan las gráficas antihoraria y horaria, hay dos parejas de aproximaciones, y aparece un genuino límite, incluso reforzado por así decir.

Por tanto, se cumple la regla de que el límite del producto de dos límites es el producto de esos limites, si éstos existen.

Por otra parte, y por procedimientos aceptados por todos, aunque aquí no los expongamos, se sabe que el límite de la función compuesta x.cot x es 1. Cabe por tanto afirmar que el límite de la función ya multiplicado por el límite de la función yb es 1.

La conclusión de lo anterior es ( ± 0 . ± ∞ ) = 1. En términos coloquiales, cero por infinito es igual a uno. Nada menos que eso.

Cabe hacer algunas consideraciones sobre este notable resultado. En primer lugar, se tapa el agujero de la aritmética elemental mencionado al principio. La expresión 1 dividido por 0 tiene sentido. Se trata del límite que hemos designado por ± ∞.

Estamos en la frontera entre Lógica y Matemática. El símbolo ± ∞ pertenece a la Lógica en cuanto designa las dos parejas de aproximaciones ya actualizadas y

sobre todo la posibilidad de un ulterior acercamiento aún no actualizado. Este ulterior acercamiento es de momento algo real-posible. Se trata del concepto de poder-ser, que es lógico y no matemático. Por otra parte, ± ∞ pertenece a la Matemática, puesto que se han calculado aproximaciones previas, y eso ya son hechos.

Así pues, el límite ± ∞ designa algo real-posible y a la vez algo real-actual. Se comprende que por tanto tiempo se haya pensado que 1 dividido por 0 no tuviera sentido en las cuatro reglas.

En segundo lugar, ± ∞ sólo puede ser pensado como el infinito potencial de los matemáticos griegos, como un poder-ser. Se puede llegar a un millón y se puede también llegar a una millonésima. Desde uno hasta infinito hay tantos números tipo n como números tipo 1/n hay desde cero hasta uno.

Lo infinito nunca puede pensarse como algo real-actual, al modo de los alef de Cantor. La llamada aritmética transfinita es mera ciencia-ficción. Existe sólo en la mente de matemáticos imaginativos y apartados de la realidad. (Cfr. El Imparcial, José María Méndez, “Patrañas de Cantor y Gödel”, 22/05/20)

En tercer lugar, cabe decir lo mismo, si ± 0 fuese visto como el continuum de Dedekind. Si de hecho transformáramos el límite ± 0 en el número 0 , entonces la fórmula en cuestión cambiaría drásticamente de aspecto. Tendríamos (0 . ± ∞) = 0. Y hasta daría igual que cot x con x tendiendo a 0º fuese o no un genuino límite. Fuese lo que fuese, daría 0 en vez de 1 al ser multiplicado por el fatídico número 0. En el fondo, Cantor comete el mismo error cuando convierte al límite ± ∞ en un supuesto número y lo bautiza como alef-0.

En cuarto lugar, se aprecia que ambos límites se complementan para respetar la finitud representada por el número 1.

La variable independiente x se aproxima cada vez más al número 0, pero nunca lo alcanza como en cuanto ± 0 . Por eso hay margen para un espacio con unidad de longitud u hodón. Y por su parte, ± ∞ sigue intacto como posibilidad de una ulterior aproximación.

Pero si igualamos ± 0 con el número 0, ya no hay hodones, ni hay longitud alguna, no hay nada. Incidimos en el contradictorio concepto de continuum. (Cfr. El Imparcial, José María Méndez, “Aquiles y la tortuga”, 05/09/25).