La dualidad lógica

La lógica moderna permite disponer los seis conceptos fundamentales del LOGOS y del ESSE en lo que llamaremos Triple Correspondencia.
1ª Correspondencia............validez lógica ↔ ser necesario o Dios
2ª Correspondencia............consistencia lógica ↔ seres posibles o contingentes
3ª Correspondencia............contradicción lógica ↔ imposible que exista o nullitas

Antes de que Frege y Peano formalizaran la lógica los filósofos eran incapaces de llegar a esta Triple Correspondencia, por la sencilla razón de que la lógica se reducía para ellos a las valideces y las contradicciones. No tenían en cuenta las consistencias, porque no las veían integradas en el cálculo lógico completo que ahora poseemos.

Igualmente, la lógica actual presenta a nullitas como el antónimo de Dios en cuanto Ipsum Esse y con el negador detrás. De modo paralelo, la contradicción lógica es el antónimo de Dios en cuanto Ipsa Veritas y con el negador delante. (Cfr. “La nada absoluta”, El Imparcial 03/09/26).

Todo esto era desconocido antes de formalizarse la lógica. Y lo sigue siendo para quienes ignoran más o menos el cálculo lógico moderno, aunque no por eso dejen de usar ordenadores y móviles, que sería lo esperable.

La 3ª Correspondencia es admitida por todo el mundo y desde siempre. Todos aceptamos de modo intuitivo, o comprendemos inmediatamente, que lo contradictorio no sólo no existe, sino mucho más que eso, no puede siquiera existir. Anteponemos el fatídico no puede al predicado existir. Euclides empleó ya el razonamiento ad absurdum y desde entonces todos seguimos siendo estrictos euclidianos.

Notemos que la incondicional aceptación de la 3ª Correspondencia supone pasar desde el LOGOS al ESSE. Si algo es contradictorio, entonces no existe. En cambio, el paso desde el LOGOS al ESSE en la 1ª Correspondencia es oscuro y problemático. Si fuera fácil u obvio, nunca hubiera habido ateos en el mundo, ni los habría ahora. En efecto, no se salta desde la validez lógica a la existencia, tan fácilmente como se pasa desde la contradicción lógica a la inexistencia. Santo Tomás de Aquino y Kant destacaron en la Historia de la Filosofía por su insistencia en este punto.

Sin embargo, el hecho de que en la 1ª Correspondencia no exista tránsito del LOGOS al ESSE es compatible con que lo haya en dirección contraria, o sea, del ESSE al LOGOS. Es justo este extremo lo que vamos a intentar probar en lo que sigue.

En el triángulo óntico encontramos las ocho igualdades citadas en el artículo antes mencionado. Pero además disponemos del triángulo deóntico en que se
cumplen las mismas ocho igualdades. El trío de conceptos ónticos -nullitas, posible, necesario- es ahora substituido por el trío de conceptos éticos -prohibido, permitido, obligatorio. Y el predicado absolutamente general existir es substituido por el predicado hacerlo, que se refiere exclusivamente a la conducta humana.

El lector es invitado a comprobar por sí mismo las ocho igualdades del triángulo deóntico. Sólo ofrecemos aquí las dos más elementales: no prohibido hacerlo = permitido hacerlo y prohibido no hacerlo = obligatorio hacerlo.

Pero aún disponemos de un tercer ejemplo, el triángulo cuantorial. En los manuales de lógica se habla por supuesto de la dualidad entre el cuantor particular al meno uno y el cuantor universal todos. Pero se suele omitir, o quizá se desconoce, que ambos cuantores forman con ninguno un trío de conceptos que se atiene al mismo esquema formal de los triángulos óntico y deóntico.

También el lector puede comprobarlo fácilmente por sí mismo, si piensa, por ejemplo, en los miembros de un comité que asisten o no asisten a una reunión del mismo. Sólo daré esta pista: no al menos uno no asistió = todos asistieron.

Así pues, los tres triángulos -óntico, deóntico y cuantorial- responden al mismo esquema formal. Esta estructura meramente formal puede abstraerse de esos tres ejemplos materiales y ser considerada como algo perteneciente al ámbito del LOGOS. El paso desde el ESSE al LOGOS consiste en despojar a los triángulos óntico, deóntico y cuantorial de su materia o contenido, y trasladar su formalidad al ámbito del LOGOS. El esquema tiene el mismo rango de verdad formal que las valideces lógicas ordinarias y por eso se ubicaría en la 1ª Correspondencia.

En los manuales se suele hablar de Lógica modal, aludiendo a los viejos modi del ser introducidos por los lógicos medievales. Los modi como tales pertenecen al ámbito del ESSE. Pero el esquema formal de los tres triángulos pertenece al ámbito del LOGOS. De un modo u otro esto es lo que se presenta como Lógica modal.

A este esquema formal le vendría mejor el nombre de Lógica dual. En efecto, las cuatro igualdades de la dualidad, o la dualidad como tal, son lo esencial y definitorio de esta cuestión. Tanto es así que abreviaremos las cuatro igualdades de la dualidad por el trío de símbolos ± modus ± . Más aún, la dualidad nos depara una gran sorpresa, como veremos a continuación

Hemos insistido en el artículo antes mencionado en que la idea de nullitas implica su propia inexistencia. O dicho de otra manera. La frase nullitas existe es por fuerza falsa, si le falta el crucial NO. Es una frase que sólo puede ser negada. La negamos cuando intentamos afirmarla. Se hace verdadera en cuanto añadimos el crucial NO.

Este hecho es una sorprendente excepción. Todas las frases ordinarias pueden ser afirmadas o negadas, independientemente de que sean verdaderas o falsas. Cabe decir llueve o su contrario no llueve, tanto si caen gotas de agua del cielo como si luce un sol espléndido. O dicho más llanamente, somos capaces de mentir con cualquier frase. Sin embargo, con la concreta frase nullitas existe no podemos mentir. Si la afirmamos, por eso mismo la negamos. Siempre dejaremos claro que nullitas existe es irremediablemente falsa. En este excepcional caso estamos obligados a decir siempre la verdad.

¿Podemos encontrar en la dualidad algo que se parezca a la imposibilidad de mentir que caracteriza a nullitas existe? En efecto, ésta es la gran sorpresa que nos depara la dualidad.

Recordemos que las cuatro igualdades de la dualidad pueden simbolizarse como ± modus ± . Usaremos aquí los símbolos habituales Θ y Π de modo enteramente formal. No significan ahora las materias necesario o posible, Se trata sólo de captar el mecanismo formal mediante el cual se produce la igualdad.

Examinemos un caso cualquiera de la dualidad. Por ejemplo (+ Θ -) = (- Π+). Siempre se dan tres pasos: 1º, cambiar + por - o al revés; 2º, cambiar Θ por Π o al revés; 3º, cambiar + por - o al revés-.

Pues bien, negar un trío dual como +Θ- es exactamente lo mismo que dar esos tres pasos. En efecto - (+ Θ -) es igual a - Π+.

Así pues negar un trío dual cualquiera equivale a afirmarlo. Esta es la gran sorpresa que nos guardaba la dualidad lógica. No podemos negar sus igualdades, sólo afirmarlas. No podemos mentir con un trío dual, de modo curiosamente paralelo a como no podíamos mentir con la frase nullitas existe. Con un trío dual siempre decimos la verdad. Lo único que cambia es la dirección de verdad-mentira. Nullitas existe sólo puede negarse. Si la afirmamos, la negamos. En cambio, ± modus ± sólo puede afirmarse. Si lo negamos, lo afirmamos,

Se diría que hemos topado con los extremos o límites del lenguaje. La frase nullitas existe es necesariamente falsa y con ella no se puede mentir. El trío de símbolos ± modus ±, que resume las cuatro igualdades de la dualidad, es necesariamente verdadero y con él no se puede mentir.

Una aclaración importante. Estamos hablando exclusivamente del trío de símbolos ± modus ± . No añadimos un predicado. Porque, si lo añadimos, desaparecen las sorpresas. Consideremos la obvia implicación Θa → a, con el predicado a. De ella se deduce -a → -Θa. Pero -Θa es lo mismo que Π-a. Por lo tanto, al final tenemos -a → Π-a, que nos parece enteramente normal.

Si queremos ser completamente exactos, -(+Θ+)a es igual a (-Θ+)a. Sólo la primera ocurrencia de ± es afectada. El modus y la segunda ocurrencia de ± quedan como estaban. Pero (-Θ+)a es lo mismo que (+Π-)a .Y a su vez (+Π-)a puede  escribirse como (+Π+)-a , o bien Π-a con el afirmador tácito.

Esta es la gran sorpresa de la que antes hablábamos. Atañe a las igualdades de la dualidad, independientemente del predicado que se use, y en las que cambian las dos ocurrencias de ±. Queda pendiente la tarea de llegar a las últimas consecuencias de este tan asombroso comportamiento lógico y gramatical. Tarea que abordaremos en un tercer artículo sobre la rehabilitación del argumento anselmiano por el reciente cálculo lógico.