Tres falsas paradojas

La más famosa es sin duda la del mentiroso. El cretense Epiménides dijo que todos los cretenses eran unos mentirosos.¿Mintió o no Epiménides al decir eso?

Si mintió, confirmó su frase y dijo una verdad. O sea, si mintió, no mintió.

Y si dijo la verdad, mintió al afirmar que todos los cretenses mienten. Habría al menos un cretense, Epiménides, que no miente. O sea, si no mintió, mintió.

La paradoja sólo ha sido resuelta cuando a principios del siglo XX se distinguió entre lenguaje “sobre” el que habla (lenguaje objeto) y lenguaje “en” el que se habla (metalenguaje). Si no se habla sobre cosas sino sobre palabras, es obligada esta distinción. Los cretenses hablaban habitualmente sobre cosas. Pero Epiménides no habla sobre cosas, sino sobre el lenguaje de los cretenses. No hay contradicción alguna, si se distingue entre dos diversos niveles lingüísticos. La paradoja surge cuando se supone que el lenguaje objeto y el metalenguaje están en el mismo nivel.

Por eso, se aconseja distinguir de alguna manera el lenguaje objeto del lenguaje en que se habla. Si usamos comillas, lo correcto es escribir: El cretense Epiménides dijo “todos los cretenses son unos mentirosos”. También se puede destacar el lenguaje objeto usando cursivas o negritas. Más adelante emplearemos negritas.

El mismo error de confundir los niveles lingüísticos aparece en la paradoja del matemático Richard. Esto es importante, porque Gödel cometió el mismo error en su famoso Segundo Teorema.

Richard hace una lista de posibles propiedades de los números naturales 1, 2, 3, 4..... y asigna un número de orden a cada propiedad en ese listado. A continuación establece que, si ese número de orden no cumple la propiedad que le corresponde, tiene la propiedad “richardiano”. Y si la cumple, es “no richardiano”.

Por ejemplo, sea la séptima propiedad en la lista la de ser número primo. El número 7 no es richardiano, porque 7 es primo y cumple la regla. En cambio, si la propiedad fuese la de ser par, y esta propiedad tiene el puesto 35 en la lista, el número 35 es richardiano, pues no cumple la regla.

Supongamos ahora que a la propiedad “richardiano” le corresponde en la lista el número n. ¿Será n richardiano o no? Surge la falsa paradoja.

Si n es richardiano, no tiene la propiedad correspondiente, que es precisamente la de ser richardiano. Si es richardiano, no es richardiano.

Y si n no es richardiano, entonces tiene la propiedad en cuestión, que es justo la de ser richardiano. Si no es richardiano, es richardiano.

La solución está de nuevo en precisar que n, en negritas, está en el lenguaje objeto, y en cambio n, en grafía normal, está en la numeración de la lista, que es metalenguaje en este caso. Las propiedades son claramente metalingüísticas respecto al conjunto N. Y los números de orden que se asignan a esas propiedades son igualmente metalingüísticos

Así pues, la frase “si n es richardiano, entonces n no es richardiano” no contiene contradicción alguna. Los sujetos de ambas frases, “n” y “n” son distintos. Y lo mismo ocurre con la frase “si n no es richardiano, entonces n es richardiano”.

Conseguimos nueva claridad, si redefinimos “richardiano” al revés, o sea, “tiene la propiedad en cuestión”. Resultan entonces las aparentes redundancias “si n es richardiano, entonces n es richardiano” y “si n no es richardiano, entonces n no es richardiano”. Pero no hay aquí redundancia o repetición alguna, El número n, en grafía normal, está en el metalenguaje, y el número en negritas n está en el lenguaje objeto. Aunque ambos denoten la misma cantidad, lo importante aquí es que están en niveles lingüísticos distintos.

Así pues, los números están en el nivel lingüístico en que son usados. Es una regla general, que soluciona la falsa paradoja de Richard, y también alcanza a Gödel, como veremos luego.

Un tercer ejemplo de paradoja es la de Russell. “El conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos ¿se contiene o no a sí mismo? Como antes, para evitar la paradoja, basta observar que los conjuntos que no se contienen a sí mismos como miembro están en el lenguaje objeto. En cambio, el conjunto de todos esos conjuntos está en el metalenguaje.

Para que el público sencillo captase esta paradoja, Russell recurrió a definir al barbero de un pueblo como “el único que afeita a todos los que no se afeitan a sí mismos”. Pero toda definición es metalingüística respecto a lo definido. La palabra “afeitar” dentro de la definición de barbero está en el metalenguaje. En cambio, que se afeite o no como uno más del pueblo está en el lenguaje objeto. Desaparece la paradoja. El barbero se afeita a sí mismo en el metalenguaje justo porque no se afeita a sí mismo en el lenguaje objeto. O no se afeita a sí mismo en el metalenguaje precisamente porque se afeita a sí mismo en el lenguaje objeto. En vez de paradoja resulta una obviedad.

Con todo, en la falsa paradoja de Russell aparece un segundo aspecto, que se superpone a la confusión de los niveles del lenguaje. En efecto, Russell mencionaba los conjuntos que se contienen a sí mismos como miembro. O sea, el todo coincidiría perfectamente con una de sus partes. Pero eso nunca ocurre en la realidad

Vamos a usar el término LOGOS para referirnos a las palabras (da igual si designan cosas o ideas), los niveles del lenguaje, y sobre todo a los números, que también están sujetos a la prohibición de mezclar niveles lingüísticos. Y emplearemos el término ESSE para designar las cosas, lo que tiene realidad, lo que de hecho existe en nuestro mundo.

Los conjuntos que se contienen a sí mismos como miembro sólo existen en el LOGOS. Por otra parte, el ejemplo más aproximado en el ESSE serían las muñecas rusas, que se contienen unas a otras. Aunque cabe ofrecer otros. Un libro en cuya portada aparezca la fotografía del mismo libro. Y exagerando, un mapa de Inglaterra tan preciso que en él aparecía dibujado el propio mapa.
Como sugiere el ejemplo de las muñecas rusas, decir que un conjunto se contiene a sí mismo como miembro es igual a postular el infinito actual de Cantor. En efecto, cuanto mayor fuese el número de copias, menor sería la diferencia en tamaño entre la muñeca y su primera copia. Si hubiera alef-0 repeticiones, la muñeca y su primera copia serían exactamente iguales en tamaño.

Y sin embargo la primera copia estaría contenida en la muñeca. Aparece de nuevo la contradicción. El conjunto que se contiene a sí mismo como miembro no existe en el ESSE. Eso sólo se da en el LOGOS. Concretamente en la mente de matemáticos como Cantor o Russell, que pierden el contacto con la realidad. Son sólo ideas sin correlato real en nuestro mundo. Y en ningún otro mundo, pues se trata de contradicciones.

Por tanto, es absurda la habitual definición en los manuales de “conjunto infinito” como aquél que se puede poner en correspondencia biunívoca con uno de sus subconjuntos. Galileo supuso que había tantos cuadrados como números naturales. Pero si hay 10 números naturales, no hay más que tres cuadrados, 1, 4 y 9. Quizá por ahí vino a la cabeza de Russell la peregrina idea de los conjuntos que se contienen a sí mismos como miembro.

Volvamos a Richard y Gödel. En Richard no hay más que ignorancia de la diferencia entre n en grafía normal y n en negritas. Pero Gödel fue más allá. Se inventó los números Gödel. Todos y cada uno de los símbolos lógicos tiene su número Gödel. Y para cualquier fórmula también se calcula su número Gödel correspondiente y único.

Supongamos que p es el número Gödel de una fórmula. En ella que hay una variable cuyo número Gödel es q (en negritas por estar en el lenguaje objeto). Gödel supuso que, si substituimos q por p, entonces la fórmula diría algo sobre sí misma. En realidad no diría nada, pues estaría mal escrita. Se mezclaría el lenguaje objeto con el metalenguaje.

Como también hay número Gödel para “demostrable”, se llega así a la famosa fórmula que parece decir de ella misma “ no soy demostrable”. Pero tampoco dice nada en estricto rigor lógico.

¿Qué podría corresponder en el ESSE como correlato de esta nueva confusión de lenguaje objeto y metalenguaje en el LOGOS? O más exactamente, en la mente de Gödel, pues cada mente humana es un entero LOGOS. Nada. Ni siquiera algo aproximado como las muñecas rusas. Quizá el absurdo de alguien que se mirase a sí mismo, sin ayuda de un espejo. Sus ojos se verían a sí mismos como “no negros”, por ejemplo.

En resumen, tanto en Russell como en Richard y en Gödel hemos intentado identificar en el ámbito del ESSE algo pudiera que pudiera corresponderse con la confusión entre lenguaje objeto y metalenguaje en sus respectivas mentes, Como era de esperar, no hemos tenido éxito. Frente a esas tres falsas paradojas no hay correlato real alguno en el ESSE.

A modo de resumen, digamos que el gran peligro del idealismo es que su mundo tiene muchos más habitantes que el mundo del realismo. Cosas, hay las que hay y nada más. Sólo Dios podría añadir alguna. Pero ideas en una mente pensante, hay todas las que vengan a la imaginación. Hay límite efectivo para las cosas, pero no lo hay para las ideas. Podemos literalmente crear ideas “ex nihilo” igual que Dios crea cosas “ex nihilo”.

La diferencia está en que no toda idea que se nos ocurra se convierte automáticamente en realidad, por el solo hecho de pensarla. Ese supremo poder es divino, no humano. Indudables genios como Galileo, Richard, Cantor, Russell y Gödel se olvidaron, al parecer, de este pequeño detalle.